Joomla Software solutions Template

Payday loan

Тази книга е резултат от сътрудничеството между учители – както начални учители, така и преподаватели в университети – с опит в областта на обучението по математика в ранното детство. Съавторите на всяка глава имат задачата да синтезират и обобщят изследванията в областта на обучението по математика и да изложат съответните резултати. Читателят може да  открие много нови предложения относно това по какъв начин класните учители могат да направят такова изследване в техните класове.

Книгата за ранното детство следва формата на изследователските идеи в класната стая. В нея са поместени отделни глави, озаглавени “Научаване”, ”Етапи и съдържание”, ”Обучение” и “Изследвания в клас”.

НАУЧАВАНЕ

Гинсбърг и Байрън разглеждат обширния въпрос относно процеса на учене при децата и за това какво можем да направим като учители, за да подпомогнем този процес.Те излагат аргументи за това, че децата започват училище с вродено любопитство, както и със способност за разрешаване на определени задачи. Тези деца имат вече изградени математически представи. Изследванията, направени върху детската познавателна способност, разкриват вродената способност на децата да научават математически закономерности. Наше задължение е да направляваме техните природни дадености, за да се изградят първоначални значими познания по математика.

ЕТАПИ И СЪДЪРЖАНИЕ

Темата на трета глава се отнася до изследванията върху развитието на ранни представи за число и броене. Разбирането на цифрите като разнообразие от групи, а не просто като сбор от отделни предмети, изглежда помага на децата да извършват много и различни математически задачи.

Баруди и Стендифър(четвърта глава) продължават темата за първоначалното броене, за да анализират резултатите от изследванията на процесите на събиране и изваждане в предучилищна възраст. Събирането и изваждането трябва да бъдат обяснени на децата чрез задачи, които те могат да решат с помощта на подходящи средства.

Коуба и Франклин (пета глава) разглеждат подобни проблеми, свързани с умножението и делението. Според тях “математиката осмисля събитията”. За да се развият богати, смислени представи за основните действия, авторите съветват да разширим кръга от цифри, термини и разнообразие на всекидневните събития, които могат да бъдат представени от действията умножение и деление.

Ван де Вале и Уоткинс (шеста глава) съсредоточават вниманието си върху идеята за “смисъла на цифрата”. Авторите твърдят,че “смисъла на цифрата е по – скоро начин на преподаване, отколкото тема, която трябва да се научи” и наблягат на това, че то не може да бъде отделяно в учебник или урок.

Хембрий и Марш (седма глава) излагат доказателства в полза на твърдението, че малките деца постъпват в училище почти подготвени да разрешават дадени задачи.

Уилсън и Роуланд (осма глава) излагат резултати, с помощта на които може да се ръководи  на детската способност да измерват.Авторите представят също често срещани проблеми, с които студентите могат да се сблъскат.

Fuys и  Liebov(девета глава) имат за задача да обобщят резултатите от изследванията в обширната област на геометрията и пространствените представи.

Лангфорд и Саруло (десета глава) дискутират темата за  разбирането на рационалните числа, които са съобразени с развитието на децата от предучилищна възраст.

ОБУЧЕНИЕ

Стандартите за професионално обучение (NCTM,1991) определят четири обширни области, които са стандартни за обучението по математика: задачи,

беседа, среда, анализ. Всяка от тези глави в раздела “Обучение” насочва към стандартите на обучение.

Глава 11, ”Калкулатори и компютри” визира средствата за провеждане на беседата и математическите задачи (Стандарт 1); глава 12 “Организация на класната стая и модели на инструктиране” визира средата на обучение и ролята на учениците в беседата (Стандарт 3); глава13 ”Учебен план: поглед към математиката в ранното детство” визира необходимите задачи, които трябва да се дават в часовете по математика (Стандарт 1);глава 14 “Влиянието на учителя” визира ролята на учителя в беседата (Стандарт 2) и в обучаващата среда (Стандарт 5); глава 15”Оценка на ученето” визира анализа на обучението и ученето (Стандарт 6).

Кембъл и Стюърт (глава 11) разглеждат нуждата от калкулатори и компютри за подпомагане на обучението по математика в началните групи.

Глава 12,на Торнтън и Уилсън, съдържа информация за организацията на класната стая и моделите на преподаване. В центъра на преподаването могат да бъдат както учителите, така и учениците. Изследването не подкрепя стандартната практика на разделяне на уроците по математика според възможностите на децата. Разгледани са множество интересни теми – за създаване на смесени групи, групи, в които учениците взаимно си помагат; разгледана е и идеята за ролята на ученика на мястото на учителя.

Догърти и Скот (глава 13) представят учебната програма по математика в ранното детство. Тяхната позиция е в полза на учителите, чието право е да определят програмата и съдържанието по математика, които преподават в клас.

Главата, написана от Буш и Кинсър (глава 14) е за влиянието на учителя за организацията на средата на обучение в класната стая. Тук можем да прочетем за това как действията на учителя, съзнателни или несъзнателни, насочват учениците към това какво цени учителя и как учениците трябва да възприемат математиката.

Робинсън и Бартлет (глава 15) са натоварени с трудната задача да обобщят изследванията в областта на провеждането  на обучението по математика в ранното детство. Изглежда доста въпроси в тази област остават без отговор. Едно обаче е ясно – не всеки метод на обучение и оценяване е подходящ в различните ситуации.

ОБЩИ ТЕМИ РАЗГЛЕЖДАНИ В ГЛАВИТЕ

Най – интересното нещо в книгата са темите, които възникват в разнообразното съдържание.

• Да се работи върху издържливостта и вродените способности на децата; да се отнасяме към тях като към способни, значими членове на ученическия колектив.
• Да се използват интересни въпроси или проблематики, за да се мотивира интерес към определена тема или да се представи нова идея.
• Да се наблегне върху езика и комуникацията в уроците по математика в ранното детство чрез различни методи, както в устен,така и в писмен вариант.
• Да се насърчава връзката между отделните зони; това е важно за създаване на връзки и отношения в познанията по математика.
• Да се използват различни подходи на оценяване за по – реална представа за знанията на децата по математика.
• Динамиката в класната стая да се редува: групи със сътрудничещи си членове, групи с различно ниво на математически познания и други технологии.

ПОЗНАНИЕТО: ИЗГРАЖДАНЕ НА МАТЕМЕТИЧЕСКИ

ПРЕДСТАВИ У МАЛКИТЕ ДЕЦА

Хърбърт П. Гинсбърг и Джойс Байрън

Целта на тази книга е да покаже практически начин на мислене за това как децата учат по математика и по какъв начин ние да ги обучаваме. През предучилищните години децата развиват естествено любопитство за количествените отношения и спонтанно създават елементарни математически зависимости. В естествената среда, без целенасочени напътствия, те активно изграждат отношения като “повече” и “по – малко”, както и “събиране” и “изваждане”. Въпреки че е непълна и различна от начина на мислене на възрастните, тази “математика” служи като основа за по – късното учене по математика в училище.

Трябва да мислим за елементарните познания на децата по математика като за спонтанната детска реч. Така както всеки се учи да говори и говоримата реч е основа за четенето, така и всеки развива елементарни познания по математика, които ще бъдат основата за изписване на задачи в училище.

Социалната среда предлага на децата значителни представи за това що е количество. Децата чуват, когато родителите им броят, виждат възрастните да използват числата докато пазаруват, виждат числата върху телефонните апарати, автобусите, къщите. Могат да се натъкнат на телевизионни предавания, в които главните герои броят или смятат.

Социалната среда е различна при различните култури. Някои култури предлагат “образователна”телевизия, други – не. Но почти всяка позната култура предлага фундаменталната математическа система. Нещо повече – в почти всички изучени култури бройните системи са много развити, най – често включващи десетичната система и разширени до доста по – големи числа. Някои изследвания показват, че някои “примитивни” култури предлагат изненадващо богата среда за изучаване на математика.

Количествените характеристики на физическата и социалната действителност са толкова фундаментални, че се отразяват в ранния език на децата. Измежду първите думи на децата са “повече” и “нищо”. Тези количествени отношения имат място и в детската литература. Детето се запознава и разбира с приказката за трите мечки – най – малката,  средната и  най – голямата, всяка със свое легло, купа и стол според големината си. Приказката разказва за зависимостта между размера на мечките и техните вещи. Културите по целия свят предлагат фолклорни приказки и истории, съдържащи подобни количествени отношения.

КАК УЧИ ДЕТЕТО

Въпреки че естествената и социалната среда предлагат на децата много възможности за научаване на количествените зависимости, тези възможности не са достатъчни. Децата имат нужда да се научат да ги прилагат. Според Пиаже децата имат вродена способност да се учат от средата, тъй като се приспособяват към условията на тази среда. Пиаже твърди, че децата са способни да научават, защото мозъците им са конструирани по този начин. Когато не могат изцяло да асимилират новата информация се получава познавателен конфликт.Пиаже смята, че децата са любопитни по природа  и имат желание да учат, за да разширят познанията си.

“Учениците трябва често да се сблъскват с неподправени проблеми. Неподправен проблем е ситуация, в която ученик или група ученици трябва да създадат едно или повече подходящи решения на проблема. Ситуацията трябва да бъде достатъчно сложна, но не  и невъзможна за решаване.” (Национален съвет на учителите по математика,1989, стр. 10)

Много често децата учат, защото знанията им могат да бъдат от практическа полза. Така например африканците в долитературните общества учели да смятат на ум, защото това им помагало в търговията. Децата също се учат да смятат на ум, за да получат одобрението на родителите си, на учителите си и това на други възрастни.

КАКВО УЧИ ДЕТЕТО

Неизбежно е в ранното детство да се формират елементарни форми на математически познания. Обикновено те не се преподават от учителя, а се създават от детето. За разлика от знанията на възрастните, познанието на децата може да приеме отличителни форми. То служи като основа за по – нататъшното обучение в училище.

Един от примерите за елементарно знание по математика е събирането. На 2 – 3-годишна възраст децата започват да развиват интуитивна представа за събирането. Серия от изследвания показва, че повечето малки деца от 2 до 4 години развиват усет за прибавяне и отнемане на предмети.

Не трябва да бъркаме възможността на детето да прибавя предмети с възможност за изписване на математически задачи. Има драстична разлика между разбирането, че 3 стотинки и 4 стотинки правят 7 стотинки и изписването на задачата 3+4=7.

На 4 – годишна възраст децата започват да смятат в конкретни ситуации В една ситуация при 4 – годишни деца е зададена задача, в която 3 предмета от едно множество трябва да се прибавят към 4 предмета от друго множество. Децата на тази възраст обикновено извършват пресмятането правилно чрез метода “преброяване на всички предмети”. Това включва преброяването на предметите от двете множества отначало. Дори тогава детето знае, защото ги е преброило, че едното множество съдържа 4, а другото – 3 предмета, и започват да брои 1,2,3,……5,6,7.

4 – годишното дете обикновено разбира събирането като  действие на комбиниране и преброяване на отделни предмети. Събирането включва действие с предмети от дадено множество, за да се получи друго множество. Естественото заключение за тази представа е, че събирането не се определя като еквивалентност между две количества. Малкото дете не може да разбере три плюс четири като ново име, еквивалентно на седем. За него по –скоро седем е резултат, който получава като направи нещо с три и четири.

Повечето 5 – 6-годишни деца ще кажат, че изписването 7= 3+4 не е “позволено”. Когато ги помолим да обяснят защо не е позволено, те ще кажат, че 3 и 4 трябва да стоят от другата страна на знака за равенство.

С течение на времето детският опит, свързан със събирането, се развива и “узрява”. Децата спонтанно развиват ефикасни подходи за пресмятане. Накрая започват да смятат чрез далеч по – лесния начин “преброяване”,след като обикновено започват броенето от по – големия брой предмети. Например, в случая 4+3 , децата започват да броят от 4,5,6,7.Детето вече може да сметне задачата на ум. Често това се постига чрез използването на “ярки” умствени представи. Детето си представя както четирите, така и трите предмета и ги преброява като отново започва да брои от по – големия брой предмети. Други деца извършват пресмятането като броят просто цифрите без да си представят обектите.

Като заключение можем да кажем, че първоначално децата имат интуитивна представа за събиране и изваждане и постепенно развиват способности за пресмятане.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕМЕНТАРНОТО ПОЗНАНИЕ

Интеркултурно проучване показва, че развитието на процеса събиране протича еднакво в различните култури. Децата от различните култури – бедни и богати, от различни раси – имат едно и също протичане на елементарното събиране. Необразованите африканчета прилагат методи на събиране, подобни на тези, които използват американчетата; много необразовани, бездомни деца от Бразилия развиват сложни и ефективни способности за пресмятане на ум.

Изследванията показват, че общия път на развиване на елементарни математически способности е еднакъв за различните култури, раси и класи. Всички деца развиват едни и същи основни математически способности. Това обаче съвсем не значи, че изследването показва, че всички деца имат идентичен начин на математическо мислене. В САЩ, например, бедните чернокожи деца пресмятат дадени задачи на по – ниско ниво, отколкото белите деца. Но и двете групи прилагат един и същ основен модел на развитие. Основното заключение не е, че математическото мислене е идентично в различните култури, а че децата от различни среди придобиват основите на елементарното събиране по еднакъв начин.

Децата израстнали в стимулираща  околна среда почти винаги усвояват някои основни математически идеи. И както можем да видим много от тези идеи са широко разпространени в културата. Същевременно, ние като преподаватели, както и родителите искаме да обогатим детската среда, да осигурим на децата  по – нататъшна  възможност за учене. Как да се постигне това? Ето  пример за класно занимание, което включва елементарни математически познания за възраст от 4 до 6-7 години. Учителят може да подготвя дневни или седмични графици, по които децата да получават различна информация. Например, един много богат източник на математически дискусии е задачата да се преброят колкото е възможно повече копчета по училищните си  униформи за една седмица. В понеделник общата бройка за класа може да е 60. Във вторник може да са само 43. В сряда много от децата ще са запомнили преброените през предишните два дни копчета и ще настояват да им се позволи да облекат, която и да е от техните собствени дрехи с най – много копчета. В четвъртък може да кажат,че дрехата им с най – много копчета е за пране. Но в петък – внимание! Ако в къщи имат кутия  за копчета, може да сте сигурни, че някои от децата ще са я открили и помолили да им пришият допълнителнии копчета на ризите, панталоните, чорапите, маратонките.

Идеи за проекти по график могат да бъдат: “Колко далече живеете от училище?”, “Колко от вашите роднини живеят в града/държавата?”, “Колко млечни зъба сте сменили?” и “Колко постоянни зъба имате?”. Разиграйте последните две заедно и ще имате много обширно и богато поле за математически дискусии.

Когато класът е събрал данните в рамките на седмицата е време да заговорите за математика. Децата ще са имали много възможности да наблюдават и да събират информацията. Сега ролята на учителят е да създаде необходимата среда, в която тези елементарни интуитивни разбирания, да бъдат разширени и превърнати в математически вярни понятия. Сега ще изникнат много въпроси, които чакат да бъдат зададени. Някои се формират по време на разговор, други чрез писане, трети чрез рисуване. Всички се формират в съзнанието на детето, често под ръководството на учителя:

-          Нека видим колко копчета сме носили през всеки ден от седмицата? Колко в понеделник? Вторник?...

-          В кой ден сме носили най – много копчета?

-          С колко повече са били копчетата в сряда, от тези в понеделник?

-          В кой ден сме носили най – малко на брой копчета?

-          Защо мислите, че във вторник сме носили най – малко на брой копчета?

Учителите по математика не допускат моменти като тези да бъдат подминати. Да, това изисква време, внимание и неподправен интерес от страна на възрастните да проследят въпроса на детето. Но възрастните трябва да знаят, че след като е зададен въпрос, детето е ангажирано с мислене за количеството. Това е моментът за преподаване и възрастните трябва да използват възможността да помогнат на детето да изследва математическите идеи и да ги направи по – подробни.

ЗАПОЗНАВАНЕ С ОБЩА МАТЕМАТИКА

В повечето общества децата постъпвт в училище на възраст около 5-6 год. с работещо математическо мислене. Училищата са изкуствено създадени социални институции, които предават на децата натрупаната социална мъдрост, част от която е общата математика. Тя , наричана от Виготски  “научна” система, е постоянна, организирана и логична. Обратното, детската елементарна математика е “спонтанна” система – интуитивна, емоционална и свързана с всекидневието.

Ние, възрастните, искаме малките деца да учат обща математика заради нейната потенциална сила и красота. Но не можем да допуснем, че децата ще я възприемат във вида, в който им я представяме. Както виждаме децата си изграждат собствено разбиране за училищната математика. Както казва Пиаже “Разбираш следователно създаваш.”

Общата математика не може просто да се представи на детето. То трябва да си я преработи, за да я разбере по свой начин.

Някои деца имат много силна памет. Но не оставяйте техния късмет да ви заблуди, че те наистина разбират материала. Разбирането не идва лесно, то трябва да бъде съставено от детето.

Оттук се появяват два въпроса – единият се отнася за ученето, а другият – за преподаването. Първо, какъв смисъл влагат децата в общата  математика, която им се представя. Ако те не получават знания по математика, както им се преподава, как ще си изградят разбиране за нея? Второ, как учителят поощрява ученето? Ако ученето не е ръководено, то каква е ролята на учителя?

ДА НАУЧИМ ЗА ЗНАКА ЗА РАВЕНСТВО

В повечето случаи учителите представят знака за равенство като указващ, показващ.От тяхна гледна точка, знака за равенство показва, че лявата половина на уравнението е еднаква по стойност на дясната. Така в случая 3 + 4 = 7, 3 + 4 е еквивалент или казано по друг начин 7.Това е полезно и актуално обяснение на “=”. Това е начин, който децата би трябвало да разберат. Но обикновено, въпреки най – големите усилия на учителя, малките деца не разбират “=” по този начин. Когато ги питаме да обяснят значението на  “=”, децата често казват, че то се отнася за “всико заедно” или за “събиране” или “изваждане”. Това, което децата имат предвид е, че за тях уравнение, написано като 3 + 4 = отговаря на поредица от действия с показаните числа, така че да се получи резултат. “+”-ът изисква събиране, а “=”-то – отговор. Обикновено спред децата уравнение от вида 7 = 3 + 4 е неприемливо, защото “е написано наобратно”. И въпреки усилията на учителя на обясни знака “=” като еквивалент, децата обикновено си формират собствена интерпретация на него. За тях това означава, че  трябва да се извърщи необходимото пресмятане, така че да се получи резултат.

Защо децата не научават това, на което ги учи учителя? В общи линии отговорът е, че децата не получават знанието директно от възрастните, а трябва да го пречупят през собственото си разбиране. Ето защо работните листове трябва да включват уравнения като 3 + 4 = 5 + ? ; 8 = 0 + ?. Трябва да се поставят задачи като: “Използвайте две събираеми, написани в различни варианти, така че крайният резултат на уравнението да е равен на 9.” и “Обяснете със собствени думи защо можем да кажем, че 7 = 7, както и че 7 = 3 + 4.”

Друга причина за тази детска интерпретация е, че примерите, които обикновено се дават в клас, в уроците за домашна работа или в учебните тетрадки представят събирането като калкулация. В клас децата учат да съберат 4 + 3, навярно използвайки кубчета като сметало. Писмената работа на децата в клас също е тясно свързана със събирането като еквивалент. Всъщност писмени работи от вида 3 + 4 = обикновено изискват от децата пресмятане, за да получат някакъв резултат и не ги поставя в положение да разсъждават за равенството на двете страни от уравнението. Въпреки официалното преставяне на “=” като равностойност, опитът в клас изгражда у децата значение на “=” като индикатор за действия, които трябва да се извършат. В тази и други области децата не заучават това, което им се преподава, а си изграждат собствена интерпретация за математиката.

Как трябва да реагират учителите в ситуация, в която децата изграждат идеи, отклонявайки се от общоприетите математически понятия? Има няколко възможни варианта.

Първата възможност е да се “говори по – силно”. Учителят може да повтори обяснението за равенството по – силно, отколкото преди, като пренебрегва разбирането, което децата са си изградили. Така не е много вероятно да успее в един по – късен етап. Въпреки че децата могат да повторят думите на учителя, те без съмнение ще продължат да използват собственото си разбиране за знака за равенство “= като действие”. Наистина има наблюдение на този тип подход в упоритото изучаване на алгебра, въпреки че към този момент учителят е говорил с най – голямата сила на гласа си в продължение на години.

Друг подход е да се разберат детските схващания и да се използват. Например, когато преподаваме “събирането” като движение по числовата линия, за уравнението 3 + 4 = 7 това означава, че започваме от позиция 3 в числовата редица, продължаваме към 4 и завършваме на 7. Но това бе включва равенството в неговия смисъл.

Преподаването по този начин изисква познаване на детската интерпретация. Учителите трябва да са наясно какво знае и каквоо не знае всяко дете по разискваната тема, за да може да го насочи от неговото разбиране към следващото ниво на познание. Това не важи само за равенството, а за всички математически умения.

ПРЕПОДАВАНЕ НА ЗНАКА ЗА РАВЕНСТВО (И ДРУГИ ПОНЯТИЯ)

Същевременно задължение на учителя е да помогне на детето да надгради интуитивното си разбиране. Той не може да остави изучаването на математиката изцяло в ръцете на детето, а трябва да се намеси, да го ръководи, за да създаде на ново основни понятия по математика – да създаде идеи и действия, които да не са спонтанно изникналии в ума на детето поради липсата на помощ от страна на възрастния.

В случай на равенство детето трябва да знае, че могат да бъдат възможни няколко варианта. Целта на учителят е да научи детето, че двете страни на уравнението са равни по стойност. Например, че сборът на 4 + 3 е “толкова, колкото” е 7. Това може да им се представи и по следния начин: 7 = 4 + 3.

Каква трябва да е помощта на възрастните? Един от начините за преподаване на равенството е то да се представи ясно с дефиниции, теореми и др.Това може да е както математиците разбират равенството, но обикновено не е най – добрият подход в преподаването. Освен за най – напредналите ученици, дефинициите със сложни термини обикновено са само думи със слабо значение. Учениците могат да научат думите, но често не разбират тяхното значение.

По – добър подход е да се опита да се свържат сложните математически представи с елементарната интуиция. В обкръжаващата среда на ежедневието детето трябва да придобие опит с балансиране на люлка. Равенството може да се види и като вид баланс.

Една потенциална прекрасна и даваща познание област на изследване е въпросът как напредналите математици визуализират взаимоотношенията, които изучават. Дори колкото и трудно да им е да намерят подходящи думи да ни обяснят техния начин на мислене, ние бихме разбрали следното:”Физиката е също толкова абстрактна, колкото математиката...но някак си физиците са по – добри в  намирането на образи, които да представят тяхната работа на аудиторията... Ние, математиците, имаме голям проблем в намирането на метафори за обяснението на това, с което се занимаваме.”(Липсет, 1990, стр. 30).

Друг още по – ефективен начин за преподаване на равенството е то да бъде представено като “мост” между елементарните идеи и сложната дефиниция. На децата трябва да се задават задачи по поставят тежести на позициите 3 и 4 от лявата страна на везната и на позиция 7 от другата страна. След това може да обърне позиите на тежестите, като поставят от дясната страна тежести на 3 и 4, а от лявата – на 7. Упражнения като тези могат да помогнат на детето да състави нова гледна точка  за събирането и знака за равенство – балансът – едно явление, с което детето вече се е запознало. Това може да помоген на детето да разбере, че 7 може да се разглежда като 3 + 4, или че 5 + 2 е равно на 4 + 3.

Важно за този пример е, че везната е мост – изкуствено и точно устройство, чрез което учителят се стреми да покаже, че основната идея не е тази, която детето спонтанно си е съставило. Мостът помага на детето да свърже основната идея и символа с това, което то вече знае. Везната е истински обект, с който детето може да работи и обследва. Тя дава връзката между основната идея за равенството и елементарната идея за баланс. Тя не е полезна, ако разделя тези две области. Някои деца свикват да движат тежестите по везната, но не правят умствената връзка с абстракцията на числата.

Такива “мостове” съществуват за много области в математиката, не само за знака за равенство. И те помагат да се създаде разбиране, което включва много повече от устно повтаряне на изречения и доказатества.

ОЦЕНЯВАНЕ

За да протече процес на научаване, учителят трябва да вникне едновременно и в детската елементарна математика, и в нейния писмен вид. Учителят може да сметне за полезно, че детето си представя на ум събирането като брои от по – голямото число. Той трябва да разпознава кога детето представя “=” като “всичко заедно” и кога смята за неправилно да се пише, че    7 = 3 + 4 . Накратко, доброто преподаване изисква от учителя да има лична оценка за децата с класната стая.

Учителят лесно може да даде тестове за проверка на знанията, за да разбере как учениците се справят със събирането, изваждането, умножението,  делението, създаването на уравнения и т.н. Но често такива тестове не разкриват изцяло детското мислене. Много по – полезен може да бъде друг подход. Учителят може да се запознае с мисленето на децата, като внимателно наблюдава заниманията и писмените им работи в клас и да се възползва от възможността да “обсъждат математиката” с тях.

КОНТРОЛНА РАБОТА (ПИСМЕНО ИЗПИТВАНЕ)

В  проверката на писмената работа на детето учителят може да избира между няколко варианта. Обикновената процедура е просто да отбележи грешните отговори и да върне контролното за поправка. Но един по – полезен вариант е учителят да потърси пример с грешки в работата на всяко дете и да отдели няколко минути на всяко дете поотделно, когато му връща контролното, за да избгне погрешно мислене.

Ето пет примера с грешки в пресмятането. Отговорите не са произволни. Опитайте се да откриете правилото, което учениците са използвали. Да им се помогне означава да им се отдели време за повторно обяснение на пресмятането. Като се има предвид, че дете, което е способно да създаде погрешно правило вероятно е по – силен ученик от такова, което прави множество от видно неоснователни грешки.

Дете, което създава погрешно правило е ангажирано със създаването на своя собствена реалност. Затова грешният отговор на детето е един вид креативност.

77                         84                           53                           24                           33

-58                  -      22                    - 19          -   8                         -     22

___                   ___                        ___                           ___                      ___

21                         62                           46                           24                           11

Когато учителят разбира, че правилото, което този ученик е използвал е да изважда по – малкото число от по – голямото, тогава получената информация е много. Тази информация дава възможност на учителя да помогне на ученика да разбере основата на грешката, да я поправи и най – важното да направи една по – голяма крачка в овладяването на числовата система.

Писмената работа на детето не включва само числа, а също схеми и изречения на английски език – всичко това може да бъде показателно.Няколко автора предлагат творчески начини, чрез които да проверим и изследваме детските писмени работи, като доказатество за математическо мислене.

ДА ПОГОВОРИМ ЗА МАТЕМАТИКА

За учителят е важно да проследява мисленето на всяко дете, когато се представят нови теми. Въпреки че първоначално това изглежда невъзможно за постигане, всъщност не е чак толкова трудно, колкото изглежда. Учителят трябва да изслушва внимателно отговорите, да ги разучава задълбочено, да задава въпроси, които изискват обяснение, а не просто фактически отговори и да създава една атмосфера на подкрепа между слабите и силните ученици. А това може да се случи само, ако учителят е създал среда на взаимно доверие. Той трябва да вярва, че детето е честно относно това какво знае или не знае, какво може или не може да направи, а детето трябва да знае, че учителят е ослужлив, готов да му помогне, но не и да бъде твърде суров, когато открие момент на слабост у детето.

Според Стиглър японските учители прекарват повече време от американските в това да подтикват учениците си да изказват правилно устните си обяснения на математическите задачи и алгоритми. На това може би се отдава успеха на японските деца в математиката.

Ето един пример. Учителката записва следната задача: 26 х 4 = ? . Тя наблюдава Джоуи как пресмята и задава въпроси от време на време.

“ – Джоуи, защо записа тази малка двойка над двойката на числото 26?”

“ – Не знам. Просто съм запомнил, че вие правите така. Това се нарича “на ум” и е числото, което не записваме, когато умножаваме 4 с 6.”

“ – Защо записа тази четворка?”

“ – Защото 4 по 6 е 24. Записвам четворката там, а 2 на ум тук горе.”

Така учителката разбрала, че Джоуи е овладял аритметиката почти изцяло,  оповавайки се на своята способност да запаметява. Умножението няма заложен смисъл. То е една процедура, която трябва да се следва.

РАЗПЛИТАНЕ НА НЯКОИ МИТОВЕ

1. Някои деца не могат да научат математика.

Без съмнение някои хора нямат дарба да се занимават с висша математика. Но няма причина всички нормални деца да не могат да научат елементарна математика. Няма нищо сложно в аритметиката и геометрията, която се преподава в преучилищна и начална училищна възраст. Всъщност, както отбелязва Пиаже, аритметиката в началното училище е просто едно надграждане над това, което децата вече знаят на едно подсъзнателно интуитивно ниво. Ако математиката се преподава, както трябва, всички деца би трябвало да покажат умения в нея.

2. Момчетата научават математиката по – добре от момичетата.

На предучилищно и начално училищно ниво има много малко различия в представянето на математика на момчетата и момичетата. Някои различия наистина се появяват, но едва в началото на седми клас. Но те, както показват доказателствата, са по – скоро отражение на нашата гледна точка за липсата на дарба на момичетата по математика и това, че те се справят по – зле по математика и други технически прдмети.

3. Бедните и децата от малциствата не се представят добре по математика.

В началото на предучилищната възраст бедните деца, както и децата от малцинствата в частност са доста мотивирани да се представят добре по математика, както и по други предмети. Към 3-4 клас започват да се появяват различия в мотивацията и постиженията. Причината за това не е много ясна. Според нас слабото представяне не е резултат от липсата на математически способности при бедните деца и тези от малцинствата. Всъщност провалът идва от проблеми в мотивацията (“Защо ми е да уча математика? Не вярвам да ми потрябва за нещо.”) или от учителските стереотипи (“Тези деца не могат да са добри по математика.”). Според написаното по – горе всички деца включително и бедните деца, и децата от малцинствата имат потенциал да научат елементарната училищна математика, стига да бъдат добре мотивирани и предметът да е преподаван адекватно.

4. Американските деца имат по – малки математически способности от азиатските.

Едно проучване показва, че на ниво предучилищна възраст и детска градина, американските и азиатските деца показват почти еднакво ниво на знание. Азиатските деца не започват с “начален старт”. Различията между групите се появяват след година – две в училище и има много малко общо с непостоянството в способностите, отколкото с различията в мотивацията и преподаването. Азиатските деца се учат, че ако са прилежни и работят упорито, ще овладеят дори тези области на познанието, които им се струват много трудни. За постигане на успех се залага повече на упорита работа, отколкото на вродена способност. Очаква се всички деца да се трудят упорито и така всички те ще успеят. Обикновено така и става.

5. Невъзможността да се научи математика е често срещана.

Това не е така. Много от случаите на “невъзможност за научаване” са неправилни диагнози. Всички деца имат способност да научат елементарна математика, ако тя е правилно представена. Повечето от случаите на “невъзможност за овладяване” включват деца, които имат слабо разбиране на математиката, но не и неспособност да я овладеят, ако са поставени в условия на стимулираща среда. В повечето случаи причината за тази трудност не е интелектуална неспособност, а неправилно преподаване.